連携できない場合、いくつかのケースが考えられます。
SearchConsoleAPI未設定
この場合、GoogleSeearchConsoleAPIが有効になっていません。
以下にアクセスして、有効にしてください。（サイトのプロジェクトを選択）
https://console.cloud.google.com/marketplace/product/google/searchconsole.googleapis.com
OAuth認証の期限切れ
「設定＞unifyキーワードメニュー>設定タブ＞GoogleAPI設定＞JSON」より再度認証を行ってください。
再認証に失敗する場合は、GoogleCloudプラットフォームより、OAuthクライアントIDを一度削除して、再作成したJSONを利用してください。